11 概率 (Probability)

11.1         概率的計算

概率是用來表示一件事件發生的可能性。設E是一件事件,而P(E)則是事件E發生的概率。這基本上就是我們平日所說的“機會率”。

 

例如擲銀仔擲得“公”的機會率(概率)是1/2可以寫成:

P(擲銀仔擲得“公”) = 1/2

 

P(E)的計算方法如下:

 

11.2         概率的性質

對於任何一件事件E,它發生的概率P(E)有以下性質:

l  

n   P(E)越大時,E發生的機會越大

n   P(E) = 0時,事件E是一定火會發生的

n   P(E) = 1時,事件E是一定會發生的

l   如果E’代表“事件E不會發生”,則
        P(E) + P(E’) = 1

        (這是因為“E一係發生,一係唔發生”是必定的。)

 

11.3         解題技巧

雖然在計算概率時我們可以利用公式: 

但在解答一些較複雜的問題時,我們並不能容易地求得“所有可能結果的數目”和“符合的結果的數目”。這時便需要利用以下的技巧了。

 

11.3.1       樹形圖

利用樹形圖,我們可以把事情所有可能的結果“畫出來”。樹形圖通常是用在“有一個過程”的事情上。例如“擲三個銀仔”的情況可用以下的樹形圖來表示(H代表公;T代表字):

 

假如要求“擲三次銀仔中只少有一個公”的概率,利用以上樹形圖,我們可見“所有可能的結果的數目= 8”及“符合至少有一個公的結果的數目 = 7”。

所以,P(擲三次銀仔中只少有一個公) = 7 / 8

 

11.3.2       列表

列表通常比樹形圖整齊和容易看。但是因為一個表中只有“列”和“欄”,所以只能用來表示“有二個步驟”的事情(例如擲兩粒骰)。

 

例題:    求擲兩粒骰時點數之總和為5的倍數的概率。

解答:    擲兩粒骰的點數總和列表如下:

 

 

第二粒骰的點數

 

 

1

2

3

4

5

6

第一粒骰的點數

1

2

3

4

5

6

7

2

3

4

5

6

7

8

3

4

5

6

7

8

9

4

5

6

7

8

9

10

5

6

7

8

9

10

11

6

7

8

9

10

11

12

 

                根據上表,P(擲二粒骰時點數之總和為5的倍數) = 7 / 36

 

11.4         理論概率和實驗概率

以上所提及的概率也是“理論概率”,即利用邏輯推理所求得的概率。所謂的“實驗概率”就是透過實驗及數據的收集,利用相對頻數所求得的概率。

 

一般計算時,除非題目指明,否則我們用的也是“”。值得留意的是只要我們進行大量試驗(例如擲一萬次銀仔),“實驗概率”應與“理論概率”相當接近。

 

11.5         期望出現的次數和期望值

假設在一次試驗中(如擲骰),一件事件發生的概率是 p

在經過 n 次試驗後,該事件“會”出現的次數 = np

 

所謂“該事件會出現的次數”便是“期望出現次數”了。

例子:    擲60次骰,因為擲得“1”的概率是1/6,所以

                期望擲得“1”的次數 = 60 x 1/6 = 10

 

11.6         期望值

假如鷈Y銀仔遊戲中,擲得公可得$5,擲得字可得$1。咁如果俾你擲一次銀仔,你期望得到幾多錢呢?唔知你會唔會答“$5”(如果我玩依個遊戲,我都想擲到個公咧$5)。

 

留意鷊妓v入面,期望值並唔係我]想咧黕X多,而係“平均我]會咧黕X多”。

鶺Y先翵狺l入面,因為有1/2機會擲公,1/2機會擲字,所以:

 

例子2:抽波仔,袋入面有90個白波,9個黑波,1個紅波。抽到白波得1分、黑波5分、紅波10分。求抽一個波可得分的期望值。

解: 

 

從以上兩個例子,希望大家明白到:

當中P1P2為事件1、事件2發生的概率;x1x2為事件1、事件2發生後所得的值(值可以係“得分”,“奬金”等)